Capire il rapporto tra effetti e cause in matematica: Tac
Ad aiutare in questo campo è l’inversione, un procedimento applicato in vari contesti e con conseguenze pratiche in alcuni casi molto importanti, come è avvenuto per il problema della ricostruzione di un oggetto a partire dalle sue proiezioni, che ha portato alla realizzazione della Tac, come spiega Giovanni Sebastiani dell’Istituto per le applicazioni del calcolo “M. Picone” del Cnr
In campo scientifico, parlando in termini generici, indipendentemente dalla disciplina coinvolta, il problema dell’“inversione” è, a mio giudizio, uno dei più rilevanti e stimolanti perché riguarda, in modo più o meno diretto, la ricerca delle “cause” da cui dipendono certi “effetti”. In modo più preciso e nell'ambito matematico, possiamo considerare il problema di “invertire” una funzione "f" che associa al generico valore di una variabile numerica "x" (detta variabile indipendente), il valore f(x) di un'altra variabile “y”, sempre di tipo numerico (detta variabile dipendente). Per fissare le idee, possiamo considerare la funzione che associa a un numero x il risultato della sua moltiplicazione per il numero 7, cioè f(x)= 7∙x. Il problema di invertire la funzione f consiste nel trovare un'altra funzione, detta “inversa”, che associa a un generico valore ammissibile dalla variabile dipendente y, quel valore della variabile indipendente x tale che, se calcoliamo f(x), otteniamo proprio y. Nell'esempio di prima, la funzione inversa è quella che associa al generico numero y il risultato della sua divisione per il numero 7. Quindi, la funzione “moltiplicazione” ha come “inversa” la funzione “divisione”.
Consideriamo ora l’inversione della funzione che associa a un numero positivo x il suo quadrato, cioè il risultato della sua moltiplicazione per sé stesso: f(x)=x·x. In questo caso, la funzione inversa è quella che associa a un generico numero positivo la sua radice quadrata. Naturalmente, in generale per particolari valori di y, noi possiamo già conoscere il valore di x che soddisfa la proprietà suddetta, Nel caso specifico, conosciamo la risposta ad esempio per i numeri 9, 25 e 10.000 (rispettivamente, 3, 5 e 100). Invertire la funzione f è però molto di più di questo perché ci permette di conoscere la risposta per ogni valore ammissibile dalla variabile dipendente y.
Quest’ultimo esempio è istruttivo perché, se ammettiamo che la variabile indipendente assuma anche valori negativi, allora la funzione non è a rigore invertibile. Infatti, ad esempio se y=100, esistono due valori il cui quadrato è 100, ossia 10 e -10. Naturalmente, in questo caso, ma anche in casi più complicati (ad esempio la durata in secondi di ciascun giorno ad Oslo negli ultimi 10 anni), possiamo pensare di invertire la funzione “a pezzi”, cioè in intervalli distinti della variabile indipendente. Esistono però situazioni più complesse, come ad esempio le “trasformazioni lineari”, dove, invece di una sola variabile dipendente, ne abbiamo n, ciascuna calcolata a partire da n variabili indipendenti sommandole tra loro dopo averne moltiplicata ognuna per un suo specifico coefficiente. Un esempio per n=3 sono le rotazioni nello spazio fisico. Un teorema matematico ci fornisce la condizione necessaria e sufficiente che deve soddisfare in generale l’insieme di questi coefficienti (che è chiamato “matrice”) affinché sia possibile l’inversione.
In matematica sono molto numerosi i cosiddetti "problemi inversi", e la soluzione di alcuni di essi ha avuto conseguenze pratiche molto rilevanti. Un esempio che mi piace citare è quello della ricostruzione di un oggetto a partire dalle sue proiezioni. Questo problema è stato risolto nel secolo scorso dal matematico austriaco Johann Radon introducendo la cosiddetta "trasformata di Radon". Il risultato ottenuto da Radon ha fornito a sua insaputa la base matematica per la realizzazione, circa cinquant'anni dopo, del primo apparato di tomografia assiale computerizzata, la Tac per intenderci. Questo esempio ben illustra, tra l’altro, l’enorme importanza della ricerca di base.
Molto spesso, anche quando sono soddisfatte le condizioni sotto le quali i risultati teorici ci garantiscono che l’inversione del problema è possibile, esiste una complicazione: il “mal condizionamento”. Ad esempio, nel caso semplice di una funzione di una sola variabile indipendente, questo accade quando, per grandi variazioni della variabile indipendente, si hanno piccole variazioni della variabile dipendente (come la funzione 1/x calcolata per x=100000 e 1000000). Di conseguenza, dato che variabile indipendente e variabile dipendente invertono il proprio ruolo passando alla funzione inversa, per quest’ultima avremo grandi variazioni della variabile dipendente associate a piccole variazioni della variabile indipendente. Questa situazione non è certo ideale nelle applicazioni, dove tipicamente il valore della variabile dipendente della funzione da invertire rappresenta una grandezza misurata, e quindi nota con un certo errore. Fortunatamente, sono stati sviluppati e studiati teoricamente numerosi metodi matematici, sia generali che specifici, per “regolarizzare” la soluzione di un problema inverso mal condizionato permettendoci così di risolvere numerosi e rilevanti problemi applicativi di diversa natura.
Fonte: Giovanni Sebastiani, Istituto per le applicazioni del calcolo "M. Picone”, e-mail: g.sebastiani@iac.cnr.it