I numeri assurdi
Il direttore dell’Istituto per le applicazioni del calcolo del Cnr spiega perché la soluzione delle sottrazioni è più complicata di quella delle addizioni. Il segno meno ha infatti tre valenze diverse
Può sembrare che addizione e sottrazione siano due operazioni equivalenti, in fondo si tratta di mettere o togliere qualcosa, ma mentre nessuno ha problemi a risolvere un’operazione come 5 + 3, quando entra in gioco il segno “meno”, le cose si fanno più difficili. Vari test a livello mondiale hanno fatto vedere che non per tutti è facile trovare il valore corretto di un’espressione come (5-7)x(4-8), e nei secoli scorsi ci sono state diatribe matematiche per stabilire in modo coerente le regole da usare.
Se non è difficile dire che 5 - 3=2 o anche che 6 - 6=0, alcuni studi su bambini delle elementari hanno rilevato una certa difficoltà già nel risolvere operazioni come 4 - 9 o peggio 6 - - 4. Per esempio, molti dei bambini esaminati, per risolvere 4 - 9 in pratica risolvono 9 - 4 = 5, oppure traducono (erroneamente) 6 - - 4 come 6 - 4 e dicono è che uguale a 2. E questa confusione persiste purtroppo anche a livelli superiori, e si traduce in una generale difficoltà a trattare quantità negative nella moltiplicazione, per cui ancora oggi molti hanno difficoltà a capire la cosiddetta regola dei segni.
Il problema principale è che quando scriviamo il segno “meno” in realtà possiamo voler dire almeno tre cose diverse. A livello elementare, nell’aritmetica classica, possiamo fare solo la sottrazione di un numero più piccolo da uno più grande. E anche se il simbolo “ –”viene introdotto solo nel XVI secolo, l’operazione aritmetica di sottrarre una quantità da un’altra era già nota fin dagli antichi egizi.
Tutta un’altra storia inizia con i numeri negativi che, benché usati nella matematica indiana e araba prima dell’anno 1000, vengono considerati con sospetto in Europa fino al XIX secolo. Infatti un secondo significato del segno “-” è quello di denotare i numeri negativi: -1, -2, -3 etc… L’introduzione di questi numeri negativi è stata graduale. All’inizio, per esempio nel Liber Abbaci di Fibonacci, venivano considerati solo a livello pratico, come fossero dei debiti commerciali. A volte, in seguito, apparivano come le soluzioni di equazioni algebriche, ed erano talvolta chiamati “numeri absurdi” e non considerati come soluzioni ammissibili.
Un modo di vedere i numeri negativi è di pensarli geometricamente come i valori a sinistra dello zero nella retta reale. Questo ci porta anche al terzo significato del segno meno, che è quello di prendere un numero e mandarlo nel suo opposto sulla retta reale, mandando x in - x. Quindi se ho 3, il suo opposto è - 3, se prendo -3, il suo opposto è -(-3)=3. Algebricamente, dato un numero x, l’opposto è definito come il numero y tale che x+y=0 e convenzionalmente, per fare in modo che le varie operazioni continuino a comportarsi in modo corretto, si indica questo valore y con -x.
In pratica, nell’algebra attuale tutte queste nozioni vengono a coincidere: sottrarre un numero b da un numero a, vuol dire sommare ad a l’opposto di b. Ossia a - b è definito come a +(-b) e tutte le regole dell’addizione rimangono poi invariate. Questa sovrapposizione storica, nonostante sia stata completamente risolta e ben capita nella matematica moderna, permane in questa pluralità di significati del segno meno, che possono a volte creare confusione a livello didattico.
Insomma, la prossima volta che trovate il segno meno, fate attenzione a cosa vuole dire!
Fonte: Roberto Natalini, Istituto per le applicazioni del calcolo, e-mail: roberto.natalini@cnr.it