Tassellature: quelle geometrie della bellezza

Quando si visita un monumento o si percorre la navata di una chiesa, è facile notare che il pavimento o le pareti sono spesso ricoperti da mattonelle decorate con immagini o motivi geometrici ripetuti. Quello che stiamo osservando sono dei mosaici o, matematicamente parlando, delle tassellature. “Le tassellature sono modelli geometrici che ricoprono un piano utilizzando figure come triangoli, esagoni e altre forme che vengono traslate, ruotate, riflesse ripetutamente all’infinito senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti”, spiega Nicola Apollonio, ricercatore dell’Istituto per le applicazioni del calcolo “Mario Picone” (Iac) del Cnr. “Mosaico, ma anche rosone, fregio, finanche mandala, sono in matematica - come in architettura - figure che presentano delle simmetrie, cioè trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, etc.) che le lasciano inalterate o che trasformano le figure in se stesse, come pure si dice.  Nella figura sottostante sono rappresentati un rosone, una porzione di fregio e una porzione di un semplice mosaico (tassellatura). Usiamo il termine “porzione” perché fregi e mosaici vanno pensati come figure illimitate.

Se ruotassimo di 45 gradi in senso orario il rosone intorno al proprio centro (oppure se lo riflettessimo lungo gli assi), dopo la rotazione percepiremmo la stessa immagine; la stessa percezione l’avremmo se spostassimo del giusto ‘passo’ il fregio nella direzione della linea tratteggiata e lo riflettessimo rispetto ad essa: è vero che la porzione spostata occuperebbe una posizione diversa ma, essendo il fregio illimitato, essa sarebbe rimpiazzata da una porzione identica dello stesso fregio, esattamente come accade per i rulli di carta di greche ornamentali. Infine, se spostassimo il mosaico, la porzione che vediamo cambierebbe posizione ma sarebbe rimpiazzata da una porzione identica dello stesso mosaico. A differenza dei rosoni, che non sono mai simmetrici per ‘traslazioni’ (scorrimenti), e dei fregi, che rimangono invariati per traslazioni lungo una sola direzione, i mosaici sono simmetrici rispetto a traslazioni lungo due direzioni. Il motivo base del mosaico può presentare esso stesso delle simmetrie per rotazione e riflessione. Notiamo però che, affinché la simmetria dei mosaici sia conservata, le rotazioni possibili sono di angoli pari a metà, un terzo un quarto e un sesto, rispettivamente, dell’angolo giro. Quest’ultima condizione è nota come ‘restrizione cristallografica’ in analogia a quanto avviene per le simmetrie dei cristalli. Oggi sappiamo che esistono esattamente 7 schemi diversi per i fregi e 17 schemi diversi per le tassellature su superfici piatte”.

Le opere di Escher sono un esempio calzante dell’uso della geometria per creare, nei suoi disegni, illusioni ottiche e affascinanti motivi ripetitivi, rendendo le sue opere un punto di incontro tra arte e scienza. “In effetti Escher si è spinto oltre, riproducendo mosaici non solo per superfici piatte, come le pareti, ma anche per superfici curve come il piano iperbolico (una superficie in cui valgono solo i primi quattro postulati di Euclide ma non il quinto). È sorprendente però che ben prima di Escher, ognuno dei 17 schemi di tassellature fosse già rappresentato come mosaico all’Alhambra di Granada, addirittura cinque secoli prima che Evgraf Stepanovič dimostrasse che non ne esistono di più: l’arte e la simmetria s’intersecano da molto, molto tempo”, conclude il ricercatore.

Fonte: Nicola Apollonio, Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", nicola.apollonio@cnr.it